· Distribución Poisson.
Esta distribución es una de
las más importantes distribuciones de variable discreta sus principales
aplicaciones hacen referencia a la modernización de situaciones en las que nos
interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden reproducir
en el número de hechos en cierto tipo que se pueden reproducir en cierto
tiempo.
Bajo supuestos de aleatoriedad
y ciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la
consideración límite de procesos dicotómicos es la consideración límite de
procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces sin la probabilidad de
obtener un éxito es muy pequeño.
Esta distribución se puede
hacer derivar de un proceso experimental de observación experimental en el que
tengamos las siguientes características.
·
En este tipo de experimentos los éxitos
buscados son expresados por unidad de áreas, tiempo, espacio, pieza, etc.
·
Si n ≤ 20 y p ≥ 0.05; si n≥ 100, la
aproximación a poisson es generalmente excelente acondicionó de que n ≤ 10.
·
Numero de defectos de una tela por metro.
Para x= o, 1, 2, 3…
Dónde: p(x, λ) es igual probabilidad de
que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ello es λ
(lambda) media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto.
Λ= no
Е= 2,718
X= variable que nos denota en número de
éxitos que se desea que ocurra.
La función de distribución vendrá dada
por
P(x; λ) = 
Las tablas de poisson tienen una
estructura de la forma siguiente.
|
X
|
λ = 5.5
|
λ = 6.0
|
λ = 6.5
|
λ = 7.0
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
O,0041
|
0,0025
|
0,0015
|
0,0009
|
|
1
|
0,0225
|
0,0149
|
0,0098
|
0,0064
|
|
2
|
0,0618
|
0,0446
|
0,0318
|
0,0223
|
|
3
|
0,1133
|
0,0892
|
0,0688
|
0,0521
|
|
4
|
0,1558
|
0,1339
|
0,1118
|
0,0912
|
|
5
|
0,1771
|
0,1606
|
0,1454
|
0,1277
|
|
6
|
0,1571
|
0,1606
|
0,1575
|
0,1490
|
|
7
|
0,1234
|
0,1377
|
0,1462
|
0,1990
|
|
8
|
0,0849
|
0,1033
|
0,1188
|
0,1304
|
Puede apreciarse que en la primera
columna aparecen los valores de x, en las columnas restantes los valores de lambda λ correspondiendo una probabilidad
para cada x con su respectiva λ.
Por ejemplo si estamos insertando
encontramos la probabilidad poisson de x= 5 y para λ= 7 obtendríamos una
probabilidad de p(x=5; λ= 7.0)= 0.1277.
Usando Excel la función poisson, de debe
de ubicar en una celda vacía y escribir = poisson. DIST el software demostrara
las distribuciones existentes mientras estas escribiendo, puede observar que
entre () aparecen 3 parámetros.
X: aquí debe escribirse el número de
éxitos que desea obtener.
Media: es el valor de λ.
Acumulado: verdadero falso (si escribe
verdadero; la distribución calcula el valor acumulado desde X hasta o si
escribe falso: la distribución solo calcula el valor puntual de X= poisson DIST
(5;7.0 falso)= o.12771667.
Ejemplo 1
Una empresa electrónica observar que el
número de componentes que fallan antes de cumplir, 100 horas de funcionamiento
es una variable aleatoria de poisson. Si el promedio de estos fallos es 8.
1. ¿Cuál
es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?
2. ¿y
que fallen no más de 2 componentes en 50 horas?
3. ¿cuál
es la probabilidad de que fallen, por lo menos 10 en 125?
Solución: usando las tablas de estadística de poisson usa
la variable aleatoria x, con una distribución de poisson con parámetro λ (x)= 8
que determine el numero las horas de fundamento.
1. Considerando
que se cumplen ciertas consideraciones de irregularidad podrimos asumir que una
variable que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir 25 horas
de funcionamiento sigue una distribución de poisson con parámetros 
= 2por lo tanto la probabilidad deseada
2:
P(2=
λ=2)que le corresponde 0.2707.
2. Análogamente
definimos una variable aleatoria U con distribución de poisson de parámetro 
= 4 que mide el numero de componentes que
fallan antes de cumplir las 50 horas de funcionamiento:
P(U
≤ 2, λ= 4)= 0.0183 + 0.0733 + 0.1465= 0.2381
3. De
la misma forma definiendo una variable aleatoria V, con distribución de poisson
de parámetro 
= 10 se obtienen.
P(V
≥ 10; 2=10)= 1-P (V< 10; λ=10)= 1-[0.0000 + 0.0005 + 0.0023 + 0.0076 +0.0189
+ 0.0378 + 0.00631 + 0.0901 + 0.1126 + 0.1251] = 0.5420
Solución usando Excel
1) P(ƶ= 1; λ =2) poisson. Dist(1,2 falso)= 0.2707
2) P(Us 2; λ= 4)= poisson. Dist ( 2, 4verdadero)= 0.2381
3) P(V≥ 10; λ=10)= 1-p(V<10; λ=10)= 1- poisson – dist
( 9, 10 verdadero) = 0.54207
Ejemplo 2
Supongamos que el número de
imperfecciones en un alambre Delgado de cobre sigue una distribución poisson
con una media de 2.4 imperfecciones por milímetro.
a) Determine
la probabilidad de 2 imperfecciones en un milímetro de alambre.
b) Determine
la probabilidad de 10imperfecciones en 5mm de alambre.
c) Determine
la probabilidad de almenos 1 imperfeccion en 2mm de alambre.
Solución usando las tablas de estadística
de poisson
a) P(x)=
2, λ = 2.4)= 0.2613
b) (x
el número de imperfecciones en 5mm de alambre entonces x tiene una distribución poisson con λ=12 imperfecciones
por 
entonces. P (x=10;λ= 12.00)= o.1048.
c) Sea
x el número de imperfecciones en 2mm de alambre entonces x tiene una
distribución de poisson con λ= 2 mm por 2.4mm de imperfecciones = 4.8
imperfecciones entonces.
Solución usando Excel
a) P( x=2; λ= 2.4)= poisson. Dist (2,2,4, falso)= 0.2613
b) P(x=10; λ= 12.0)=poisson. Dis ( 10, 12, falso)= 0.1048
c) P(x≥1; λ=4.8)= 1- poisson. Dist (0, 4, 8 verdadero)=
0.4418
Ejemplo 3
La contaminación constituye un problema en el la fabricación de disco de
almacenamiento obrero. El número de partículas de contaminación que ocurren en
un disco óptico tiene una distribución de poisson y numero promedio de
partículas por centímetro 
de superficie del disco es 0.1. el área de un
disco bajo estudio es 100 .
a) Encuentren la probabilidad de que ocurran 12 partículas
en el área del disco bajo estudio.
b) La
probabilidad de que ocurran 0 partículas en el área del disco bajo estudio.
c) Determine
la probabilidad de que 12 o menos
partículas ocurran en el área del disco bajo estudio.
Solución
λ= np ~100 (0.1) partículas / =
10 partículas usando las tablas de estadística de poisson.
a) P(x=12;
λ=10)= .0948
b) P(x=0
; λ=10)=0.0
c) P(x≤12
; λ= 10)=0.0 +0.0005
Solución usando Excel
a) P(x=12; λ=10)= poisson. Dist (12, 10, falso)=0.0948
b) P(x=0; λ=10)=
poisson. Dist (0, 10, falso)= 0.000045
c) P(x ≤ 12; λ=)= poisson. Dist (12, 10, verdadero)=0.7916
