Informatica Aplicada en el Control de Calidad: marzo 2015

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución binomial se caracteriza por su función de probabilidad y viene dada por la expresión siguiente: b=(x; n, p )=(n/x)px(1-p)n-x.

DONDE:
x=Numero de éxitos (x=0,1,2,3......n).
p=Probabilidad de éxito.
1-p=Probabilidad de fracaso
n=Tamaño de la muestra o numero de ensayos.

CONDICIONES PARA UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Una distribución se denomina binomial cuando se cumplen las condiciones siguientes:

El experimento aleatorio de base se repite n veces, y todos los resultados obtenidos son mutuamente independientes.
En cada prueba se tiene una misma probabilidad de éxito, expresando por p. Así mismo, existe en cada prueba una misma probabilidad de fracaso que sea igual a 1-p.
El objetivo de la distribución binomial es conocer la probabilidad de que se produzca un cierto num de éxitos.
La variable aleatoria x que indica el num de veces que aparece un suceso denominado A(exito), es discreta y su recorrido es el conjunto de 1,2,3 hasta n veces.

Los ejercicios los resolvemos con talas estadísticas y posteriormente con la hoja de calculo excel de Micro office.

Tabla 1.-PROBABILIDADES DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (n-p)

n	x	P=0.1	P=0.2	P=0.3	P=0.4	P=0.5
	0	0.8100	0.6400	0.3600	0.3600	0.2500
2	1	0.1800	0.3200	0.4800	0.4800	0.500
	2	0.0100	0.400	0.1600	0.1600	0.2500

	0	0.7290	0.5120	0.3430	0.2160	0.1250
3	1	0.2430	0.3840	0.4410	0.4320	0.3750
	2	0.0270	0.0960	0.1890	00.2880	0.3750
	3	0.0010	0.0080	0.0270	0.0640	0.1250

Puede apreciarse que en la primera columna aparece "n" en la segunda los valores de "x" por cada "n"y luego las columnas correspondientes a las probabilidades de "p".

Por ejemplo si estamos interesados en encontrar la probabilidad binomial de n=3 ensayos de los cuales x=2 son éxitos con una probabilidad de aciertos de p=0.40.

=DISTR-BINOM.N(num, éxito,ensayo, prob-éxito acumulado)

Se ubica en una celda vacía y se escribe

=DISTR.BIMOM.N el software demostrara las distribuciones existentes mientras usted esta escribiendo puede ver que entre parentesis aparecen cuatro parametros:

Numero de exitos :Aquí puede escribir el numero de exitos que desea obtener.
Ensayos: Es el tamaño de la muestra "n".
Prob-exito: Probabilidad "p"de exito.
Acumulado: Verdadero o falso.(Se escribe verdadero: la distribución calcula distribución binomial acumulada desde "X" hasta "O".,Se escribe falso: La distribución binomial solo calcula el valor puntual de "X".

Por ejemplo si estamos interesados en encontrar la probabilidad binomial de n=3,ensayos de los cuales x=2, son exitos con una probabilidad de acierto de p=0.4.

=DISTR.BIMOM.N(2,3,0,4,FALSO)=0.2880

Puede ver que es el mismo resultado que obtuvimos con las tablas, no obstante en algunos casos obra pequeñas diferencias dado que las tablas contiene solo valores de probabilidad de cuadro decimales ( es decir diezmilésimas) y en excel puede pedirle que demuestre los decimales que quiera.

EJERCICIOS

E1.-Sea x=numero de preguntas contestadas correctamente en el "tes examen" de un total de 10 preguntas ; calcular las probabilidades de contestar:

a).- 5 preguntas correctamente.
b).-10 mas preguntas correctamente.
c).-5 o mas preguntas correctamente.
d).-Entre 3 y 6 preguntas correctamente.

SOLUCIÓN:

n=10
p=p(exito)=p(pregunta contestada correctamente )=0.05.

p= Permanente constante.

Asumiendo independencia entre las contestaciones de las preguntas obtendremos que x~ b(10.05).

ENTONCES:
a) p(x=5)b(x=5,n=10,´=0.5).
b) p(x>-1)=1-p(x<1)=1-p(x=0)=1-b(x=0, n=10, p=0.5).
c) p(>-5)=1-p(x<5)=1-p(x>-4)=1-b(x<-4, n=10, p=0.5).
d) p(3<-x<-6)=b(x<-6; n=10, p=0.5)-b(x<-2, n=10, p=0.5).

USANDO EXCEL

a) DISTR.BIMOM.N(5,10,0.50,FALSO)=0.2461
b) 1-DISTR.BIMOM.N(0,10,0.50, FALSO)=1-0.0010=0.9990
c) 1-DISTR.BIMOM.N(4,10,0.50,VERDADERO)=1-0.3770=0.6230
d) DISTR.BIMOM.N(6,10,0.50,VERDADERO)-DISTR.BIMOM.N(2,10,0.50,VERDADERO)=0.8281-0.0547=0.7734.

E2.-
Un ingeniero que elabora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspeccionara una muestra al azar de diez alternadores de un lote. Si el 20% de los alternadores de lote están defectuosos cual es la probabilidad de que la muestra:

a) Ninguno este defectuoso.
b) Uno salga defectuoso.
c) Al menos 2 salgan defectuosos.
d) Mas de 3 estén con defectos.
e) No mas de 3 estén con defecto.

SOLUCIÓN USANDO TABLAS BINOMIALES

a)p(x=09=b(x=0;n=,10;p=0.2)=0.1074
b) p(x=1)=b(x=0;n=10;p=0.2)=0.2684
c)p(x>_2)=1-p(x<_1)1-b(x<-1,n=0;p=0.2)=0.6242
d)p(x>_3)=1-p(x<_2=1-b(x<_2;n=10;p=0.2)=0.3222
e)p(x<_3)=b(x<_3;n=10;p=0.2)=0.8791

SOLUCIÓN USANDO EXCEL

a)DISTR.BIMOM.N(0,10,0,2,FALSO)=0.1734 =17%
b)DISTR.BIMOM.N(1,10,0,2,FALSO)=0.2684=26%
c)1-DISTR.BIMOM.N(1,10,0,20,VERDADERO)=O.6242=62%
d)1-DISTR.BIMOM.N(2,10,0,20,VERDADERO)=0.3233=32%
e)DISTR.BIMOM.N(3,10.0.20,verdadero)=0.8791=87%

E3.-

La probabilidad de que en un cd dure al menos un sin que falle es de 0.90 calcular la probabilidad de que en una muestra de 15:

a) 12 duren al menos 1 año.
b) A lo mas 5 duren al menos 1 año.
c) A lo menos 2 duren al menos 1 año.

SOLUCIÓN USANDO TABLAS BINOMIALES
a)B(3;n=15;0.10)-B(2;n=15;p=0.10)=b(x=3;n=15,0.10)=0.05
b)1-B(9;n=15;0.10)=1-[0.2059+0.3432+0.1285+0.0428+0.0105+0.0019+0.0003+0.0+0.0]=1-1=0
c)B(15-2-1;15,0.10)=B(12,15,0.10)=1

SOLUCIÓN USANDO EXCEL
a)b(x-12,n=15;p=0.9)DISTR.BIMOM.N(12;15;FALSO)=0.1285
b)b(x<-5;n=15;p=0.90)DISTR.BIMOM.N(12,15:0.90;VERDADERO)=0.0000002(vació)
c)1-B(x<-1;n=15,p=0.90)=1-DISTR.BIMOM.N(1;15;0.90;VERDADERO)=10.000=1

E4.-

Si 15 de 50 proyectos de vivienda violaron el código de construcción, ¿Cual es la posibilidad de que un inspector de vivienda selecciona aleatoria mente a cuatro de ellos descubra que:

a) Ninguna de las casas viola el cogido de construcción.
b) Una viola el código de la construcción.
c) Dos violan el código de construcción.
d)Al menos 3 violan el código de construcción.

n=4
p=15/50=0.30

a)p(x=0)=b(x=0;n=4;p=0.3)
=DISTR.BIMOM.N(0,4,0.30,FALSO)=0.14116

b)p(x=2b(x=2;n=4:p=0.30)
=DISTR.BIMOM.N(0,4,0.30,FALSO)=0.2646

c)p(x=2)=b(x=2;n=4;p=0.3)
=DISTR.BIMOM.N(0,4,0.30,FALSO)=0.2646

d)p(>_3)=1-B(x<2;n=4;p=0.3)
=1-DISTR.BIMOM.N(2,4,0.30,VERDADERO)=0.0837

EJERCICIOS RESUELTOS DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON USANDO TABLAS Y EXCEL

Esta distribución es una de la mas importantes de distribución de variable sus principales aplicaciones hacen referencia a la movilización de situaciones de las que nos interesa determinar el numero de echos de cierto tipo que se pueden reproducir en un intervalo de tiempo, espacio o área , bajo supuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas.

Otro de sus usos frecuentes es la consideración limite de procesos dicotomicos , reiterado un gran numero de veces sin la probabilidad de tener un exito es muy pequeña.
Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental de observación en el que tengamos las sig características:

1.- En este tipo de experimentos los exitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, espacio, pieza etc.

2.-Si n>_20 y p<0.05 ., si n<100, la aproximación a poison es generalmente excelente a concicion de que np>_10.

3.-Numero de defectos de una tela por metros cuadrados.

donde:

(px,) Probabilidad de que ocurran X exitos, cuando el numero promedio de ocurrencia de ellos es (lambda) = mediana o promedia de exitos por unidad de tiempo, área o producto e=2.718

(x) :Variable que nos denota el num de exitos que se desea que ocurra.

ECUACIÓN FRACTAL

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas

Fractales naturales son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con autosimilaridad estadística. Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de los fractales matemáticos en que los naturales son aproximados o estadísticos y su autosimilaridad se extiende sólo a un rango de escalas (por ejemplo, a escala cercana a la atómica su estructura difiere de la estructura macroscópica).
Conjunto de Mandelbrot es un fractal autosimilar, generado por el conjunto de puntos estables de órbita acotada bajo cierta transformación iterativa no lineal.
Paisajes fractales, este tipo de fractales generados computacionalmente pueden producir paisajes realistas convincentes.
Fractales de pinturas, se utilizan para realizar el proceso de decalcomania.

Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

No basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbroten 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.

Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.